Исследование уравнений Эйлера
В правую часть дифференциальных уравнений Эйлера для движущейся идеальной жидкости входит величина dux. Её можно представить как полный дифференциал функции независимых переменных для dux, который можно записать в виде:
Тогда это уравнение для dux после деления на dt будет выглядеть:
где:
- проекция скорости u на ось X.Тогда окончательно получим:
По аналогии то же самое можно записать и для других осей. С учётом таких преобразований система дифференциальных уравнений Эйлера для движущейся жидкости примет вид:
Физический смысл частных производных в уравнениях Эйлера рассмотрим на примере изменения скорости только по одной координате X.
Величины
- прямые частные производные. Они описывают изменение скорости вдоль оси в зависимости от той же координаты.В момент времени t2 через бесконечно малый промежуток времени dt скорость в точке A
станет , а в точке B - = . Тогда тангенс угла d? можно вычислить по формуле:Учитывая, что при малых углах их тангенсы равны самим углам, можно записать
. Тогда . Переписав последнее выражение, окончательно получим: .Это соотношение показывает, что рассмотренная частная производная есть ни что иное, как угловая скорость вращения бесконечно малого отрезка ab относительно оси Y (т.е., это соотношение описывает вращение вокруг «третьей» оси).
Таким же образом можно исследовать и остальные частные производные
По аналогии с приведёнными выше рассуждениями можно утверждать, что частная производная
, так же как и , описывает вращение частиц жидкости в плоскости XY относительно оси Z, частные производные описывают вращение частиц жидкости в плоскости YZ относительно оси X, а частные производные описывают вращение частиц жидкости в плоскости XZ относительно оси Y.В заключение можно отметить, что такое движение можно наблюдать, например, в водоворотах, которые часто возникают вблизи сливных отверстий при сливе воды из ванн или раковин или в других похожих условиях.